الجمعة، 24 أبريل 2015

الـقوس والزاوية المركزية والمحيطية في الدائرة

درس القوس والزاوية المركزية والمحيطية في الدائرة سنتطرق ليه لثلاث عناوين هامة في ذلك الدرس وهي :

1- تعريف وكيفية قياس القوس في الدائرة

2- التعرف على الزاوية المركزية

3- التعرف على الزاوية المحيطية

والفرق بين الزاوية المركزية والزاوية المحيطية في الدائرة .

هذه هي الاهداف الرئيسية التي يجب ان نتعلمها من هذا الدرس

القوس والزاوية المركزية والمحيطية في الدائرة

خطة سير درس القوس والزاوية المركزية والمحيطية في الدائرةخطة سير الدرس:١- القوس في الدائرة٢- الزاوية المركزية في الدائرة٣- الزاوية المحيطية في الدائرة٤- قياس القوس في الدائرة٥- طول القوس في الدائرة٦- القوسان المتجاوران في الدائرة الواحدة٧- ملاحظات وقوانين هامة في الزوايا والاقواس للدائرة

إذا كانت أ ، ب نقطتان تنتميان للدائرة م فإن مجموعة النقط المحصورة بين أ ، ب تسمى قوساً ويرمز لها بالرمز أ ب ونلاحظ أن هناك قوسان يعبر عنهما أ ب (1) أ ب ( الاصغر ) = أ ء ب (2) أ ب (الاكبر) = أ هـ ب

الزاوية المركزية في هى زاوية رأسها مركز الدائرة ويحتوى كل ضلع من ضلعيها نصف قطر فى الدائرة * رمز الزاويةففى الشكل المقابل الزاوية ( أ م ب ) رأسها مركز الدائرة وكلا من ضلعيها أنصاف أقطار فى الدائرة ( أ م = ب م = نق )الزاوية المحيطية في الدائرة* رمز الزاويةق ( أ ب ) الاصغر = ق ( أ م ب ) = ١٠٠ ْ* رمز الزاويةق ( أ ب ) الاكبر = ق ( أ م ب المنعكسة) = ٣٦٠ ْ – ١٠٠ ْ = ٢٦٠ ْويمكن أستخدام القانون :-طول القوس = قياس القوس × محيط الدائرة = قياس القوس × ٢ ط نق* ٣٦٠ ٣٦٠القوسان المتجاوران في الدائرةتعريف القوسان المتجاوران في الدائرة :هما قوسان من دائرة يشتركان فى نقطة واحدةملاحظات وقوانين هامة في اقواس الدائرةلكي يصبح حل مسائل الدائرة ومسائل الاقواس والزوايا امر سهل بالنسبة اليك عليك حفظ القوانين والملاحظات كي تستطيع تطبيقها في وقت الحاجة وفيما يلي بعض ملاحظات وقوانين في القوس في الدائرة :١- طول القوس الذى يمثل نصف الدائرة = ط نق٢- طول القوس الذى يمثل ربع الدائرة = ١\٤ × ٢ط نق = ١\٢ ط نق٣- طول القوس الذى يمثل ثلث الدائرة = ١\٣ × ٢ط نق = ٢\٣ ط نق٤- طول القوس الذى يمثل سدس الدائرة = ١\٦ × ٢ط نق = ١\٣ ط نق٥- قياس القوس الذى يمثل نصف الدائرة = ١٨٠ ْ٦- قياس القوس الذى يمثل ربع الدائرة = ٩٠ ْ٧- قياس القوس الذى يمثل ثلث الدائرة = ١٢٠ ْ٨- قياس القوس الذى يمثل سُدس الدائرة = ٦٠ ْ٩- قياس القوس الذى يمثل ثلاث أرباع الدائرة = ٢٧٠ ْ

كيف عرفوا المساحة دون أضلاع.

أحضروا دائرة من قطع ورق مقوى وقسموها إلى 8 أجزاء وقاموا لصق الأجزاء على صورة مستطيل بحيث يكون قطاع قوسه أعلى وآخر ملصوق به قوسه لأسفل وعندما قاسوا مساحة المستطيل وجدوا أن الطول يساوي نصف محيط الدائرة والعرض يساوي نصف القطر أي مساحة الدائرة = مساحة المستطيل المصنوع منها.

ومنه نجد أنّ مساحة الدائرة = نصف المحيط × نصف طول القطر (نق).

ولوضع هذا قانون بدلالة نصف القطر (نق)، نستطيع استخدام قانون (محيط الدائرة=ط × القطر).

وبالتعويض في قانون المساحة نجد:

مساحة الدائرة = 1/2(ط × القطر) × نق

نقوم بضرب ال1/2 بما داخل القوسين، فنحصل على

مساحة الدائرة = ط × 1/2القطر × نق

مساحة الدائرة = ط × نق × نق = ط × نق تربيع.

أي ما يقارب 22/7 أو 3.14 × القوة الثانية لطول نصف القطر (نصف القطر × نصف القطر).

$\mathrm{Area} = \pi r^2.\,$ $\mathrm{Area} = \frac{\pi d^2}{4} \approx 0{.}7854d^2,$
مساحة دائرة طول نصف قطرها 10 سم = ط × نق تربيع ≈ 3.14 × 10 × 10 ≈ 314 سم2.
الدائرة هي المنحنى المستوي الذي يضم المساحة القصوى (أكبر مساحة) عندما يكون طول هذا المنحنى معروفا. هذا يربط الدائرة بمعضلة في مجال حساب التغيرات وبالتحديد بمعضلة متباينة المحيط الثابت.
دائرة شعاعها r = 1، ومركزها (a, b) المساوي ل
في النظام الإحداثي الديكارتي، الدائرة ذات المركز الذي إحداثياته هي (a، b) وشعاعها هو r، هي مجموعة النقط (x، y) حيث :
$\left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2.$

$x^2 + y^2 = r^2.\!\$

يمكن أن تكتب هاته المعادلة على شكل معادلة وسيطية (قد يطلق عليها اسم معادلة بارامترية) باستعمال الدوال المثلثية جيب وجيب تمام:
$x = a+r\,\cos t,\,$
$y = b+r\,\sin t\,$
$x = a + r \frac{1-t^2}{1+t^2}\,$
$y = b + r \frac{2t}{1+t^2}.\,$
في النظام الإحداثي القطبي، معادلة دائرة هي كما يلي:
$r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \phi) + r_0^2 = a^2\,$
المستوى العقدي
في المستوى العقدي، دائرة مركزها هو c ونصف قطرها هو r تمثل بالمعادلة $|z-c|^2 = r^2\,$ . وقد تكتب هاته المعادلة بالشكل البارامتري التالي : . $z = re^{it}+c$
المستقيمات المماسة
مستقيم مماس لدائرة ما في نقطة P تنتمي إلى الدائرة هو مستقيم عمودي على قطر الدائرة ويمر من النقطة P. إذا كانت (P = (x1, y1, وكان مركز الدائرة هو (a, b)، وكان شعاعها هو r، فإن المستقيم المماس للدائرة هو مستقيم عمودي على المستقيم المار من النقطتين (a, b) و (x1, y1). ولهذا السبب، تكتب معادلته الديكارتية على شكل
$(x_1-a)x+(y_1-b)y = c$
وبتعويض قيمة العددين x و y ب x1 و y1 على التوالي، يُحصل على المعادلة التالية:
$(x_1-a)x+(y_1-b)y = (x_1-a)x_1+(y_1-b)y_1\,$

مثال على مساحة الدائرة

الإحداثيات الديكارتية

هذه المعادلة تنبثق من مبرهنة فيثاغورس، عندما تطبق على أي نقطة تنتمي إلى الدائرة، كما يبين الشكل يساره. الشعاع هو وتر المثلث و المسافتان x - a و y - b هما طولا الضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. إذا كان مركز الدائرة هو مركز المَعلم، فإن هاته المعادلة تصير أكثر بساطة كما يلي :

حيث t وسيط تتغير قيمته بين العددين 0 و 2π. هندسيا، يمثل هذا الوسيط الزاوية التي يكونها الشعاع المار من النقطتين (a,b) و (x,y) مع محور الأفاصيل. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضا دائرة:

الإحداثيات القطبية

حيث a هي شعاع الدائرة و $(r, \theta)$ هي الإحداثية القطبية لنقطة ما من الدائرة و $(r_0, \phi)$ هي الإحداثية القطبية لمركز الدائرة.

أو

(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2.\!\

عندما حاول العلماء القدامى، وعلى رأسهم غياث الدين الكاشي، اكتشاف قانون محيط الدائرة أحضروا دائرة مصنوعة من الخيط ثم فكوها وقاسوا الحبل فقالوا أن محيط الدائرة هو طول قطعة الخيط المفكوكة. وعند إعادة نفس العملية على دوائر أخرى، لوحظ أن النسبة بين محيط الدائرة (طول قطعة الخيط المفكوكة) على القطر ثابتة. أي باختصار، قسمة المحيط على قطر الدائرة يساوي نفس الناتج رغم اختلاف الدوائر ومحيطاتها وكانت النسبة تساوي تقريبا 3.141592654. وقد سُميت تلك النسبة طبالعربية و π (باي) باللاتينية وقد وضحوا أنّه عندما يكون قطر دائرة مساوياً ل1، يكون محيطها مساويا ل π. محيط الدائرة يساوي طول القطر x ط (π). هذه النسبة (ط) التي بين المحيط وطول القطر ثابتة لاتتغير.

مثال على محيط الدائرة

C = 2\pi r = \pi d\,

محيط دائرة قطرها 7 سم = ط × طول القطر ≈ 7/22 × 7 ≈ 22 سم.

عندما يكون قطر دائرة مساويا ل1، يكون محيطها مساويا ل π

الخصائص

الوتر

الوتر هو الخط الواصل بين أي نقطتين تقعان على المحيط.

المماس

المستقيم الذي يمس الدائرة في نقطة، ونقطة فقط، من نقطها (أي أنه إذا قطع مستقيم ما دائرة ما في نقطتين مختلفتين، فإن هذا المستقيم ليس بمماس لهذه الدائرة).

مبرهنات

استخدامات الدائرة

تستخدم الدائرة في كل من :

تمثيل البيانات على الدائرة بحيث تكون الدائرة 100% ويقومون بتقسيم الدائرة إلى قطاعات كبيرة أو صغيرة وكل قطاع يحمل بينة من البيانات المطلوبة.
استخدامها في صناعة العجلات باعتبارها ليس لها نهاية وأنها أنسب شكل هندسي للعجلة حيث أنها كلها متصلة ببعضها باستقامة مما يجعل مشيها متناسق.
استخدمه الفراعنة في صناعة خواتم الخطوبة لاعتبار الدائرة رمزا للبقاء وعدم الفناء ويضعونها في بنصرالإنسان لأنهم يقولون أن عرق يوصل للقلب وبه حياة الإنسان.

تـابع مـفهـوم الدائرة

الدائرة

الدائرة (بالإنكليزية: Circle) هي شكل بسيط في الهندسة الإقليدية. وتعرف بأنها المحل الهندسي للنقاط المتصلة ببعضها البعض والواقعة في المستوى من على بعد ثابت من نقطة ثابتة ما، والتي تسمى مركز الدائرة. المسافة الفاصلة بين مركز الدائرة وأي نقطة منها تسمى شعاعا أو نصف قطر.

الدوائر هي منحنيات بسيطة مغلقة تقسم المستوى إلى جزئين : داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي، قد يستعمل مصطلح دائرة للإشارة إلى محيط الدائرة، وقد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة، ولكن بمعنى أدق، فإن الدائرة هي المحيط فقط. أما مايوجد في الداخل، فهو قُرص.

الدائرة هي حالة خاصة من الإهليلج حيث تنطبق بؤرتا الإهليلج مع مركز الدائرة. الدائرة هي قطع مخروطي يُحصل عليه عندما يتقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محور هذا المخروط.

مصطلحات

وتر وخط قاطع للقوس ومماس وقُطر وشعاع.

قوس وقطاع وقطعة

نصف قطر الدائرة (قد يسمى شعاعها) هو الخط المستقيم الواصل بين المركز وأي نقطة من الدائرة. أما القطر فهو وتر الدائرة المار من المركز وهو أطول أوتار الدائرة.
قطر الدائرة هو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين من على سطح الدائرة وتمر بمركز الدائرة. وهو أكبر مسافة بين نقطتين اثنتين ما، تقعان على الدائرة. طول القطر هو ضعف طول الشعاع.
القوس هو جزء متصل من الدائرة.
القطاع هو المساحة المحبوسة بين شعاعين والقوس الذي يصل هذين الشعاعين.
الزاوية المركزية للدائرة هي الزاوية الذي يقع رأسها في مركز الدائرة.

الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يقع رأسها على الدائرة ويكون ضلعاها وترين في الدائرة.

الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية المرسومة معها على القوس نفسه.
الزاويتان المحيطيتان المرسومتان على قوس واحد في الدائرة متساويتان.
الزاوية المحيطية المرسومة على قطر الدائرة تساوي تسعين درجة.
وتر دائرة هو أي قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين ما تنتميان إلى الدائرة. القطر هو أكبر وتر في الدائرة. مماس الدائرة هو مستقيم يمس (أو يتقاطع مع) الدائرة في نقطة وحيدة، بينما المستقيم القاطع للدائرة هو امتداد للوتر حيت يتقاطع معها في نقطتين اثنتين.
مركز الدائرة هو النقطة الثابتة المذكورة في التعريف أعلاه وهي تقع في منتصف الدائرة بالضبط وعادة مايرمز إليه بالرمز (م) نسبة إلى كلمة مركز.
مماس الدائرة هو مستقيم يقطع الدائرة في نقطة واحدة فقط.

الــتـمدد

هو تحويل هندسي يكبر الشكل او يصغره بنسبة محددة هي نسبة احد أطوال الصورة الى الطول المناظر لها في الشكل الاصلي. وتسمى هذه النسبة معامل مقياس التمدد . ولان الصورة الناتجة عن التمدد تشبه الشكل الاصلي ,فان التمديد نوع من انواع تحويلات التشابه .ويتم تحديد التمدد بمعرفة مركز التمدد ومعامله .

التماثل

التماثل في الرياضيات هو دالة من بنية رياضية إلى بنية من نفس النوع، بحيث تحافظ على الخواص الأساسية، أشهر أمثلة التماثلات هو دالة اللوغاريتم والتي تعتبر تماثلا بين زمرة الأعداد الحقيقية الموجبة مع عملية الضرب وزمرة الأعداد الحقيقية مع عملية الجمع. يستخدم التماثل في الرياضيات لتصنيف البنى والكائنات الرياضية، فوجود تماثل بين بنيتين رياضيتين يعني تشابههما في كثير من الجوانب، ويسمى التماثل تشاكلا إذا كانت دالة التماثل عبارة عن تناظر أحادي.

- التماثل خاصية يمكن وصف العديد من الأشياء بها مثل الأجسام الهندسية والمعادلات الرياضية وغيرها..

- الشكلان المتماثلان هما الشكلان اللذان نستطيع أن نحصل على واحد منهما من الآخر، عن طريق

واحدة من الحركات الثلاث: الانعكاس، الدوران، والإزاحة. ونقول عن شكل واحد أنه متماثل إذا كان

مؤلفا من قسمين هما شكلان متماثلان.

- محور التماثل:يلعب محور التماثل أهمية كبيرة في الأشكال المتماثلة، وعلى الرغم من أنه لا يكون مرئيا في

الأشكال المتماثلة ( مثلا في شكل القلب،أو وجه الإنسان، لا نرى حقيقة خط التماثل)، إلا انه يمثل الخط

الذي ينقسم عنده الشكل إلى نصفين متطابقين.

﴿التحويل الهندسي﴾

في علم الرياضيات، التحويل (Transformation) هي دالة رياضية من مجموعة X إلى نفسها. على الغالب، يكون للمجموعة X هيكلية جبرية أو هندسية أخرى عندها، يصبح تعريف التحويل بالدالة التي تحول X إلى نفسها مع الاحتفاظ بهيكليتها.

********************

- إن الانعكاس، الإزاحة والدوران هي أمثلة لتحويلات ايزومترية ( متساوية القياس ) في المستوي.

ثالاً: لنتمعن في العلم المؤكّد، يمكن الوصول منه إلى كل علم من الإعلام الأخرى ( المطابقة له) بأحد هذه التحويلات أو بتركيبة منها:

- يمكن الوصول إلى العلم (أ) ----> بالانعكاس.

- يمكن الوصول إلى العلم (ب) ----> بالدوران.

- يمكن الوصول إلى العلم (ج) ----> بالإزاحة.

- يمكن الوصول إلى العلم (د) ----> بالانعكاس والإزاحة.

۞ مـنـبـع الـريـاضـيـات ۞