الجمعة، 24 أبريل 2015

كم تساوي مساحة الدائرة ؟

كيف عرفوا المساحة دون أضلاع.

أحضروا دائرة من قطع ورق مقوى وقسموها إلى 8 أجزاء وقاموا لصق الأجزاء على صورة مستطيل بحيث يكون قطاع قوسه أعلى وآخر ملصوق به قوسه لأسفل وعندما قاسوا مساحة المستطيل وجدوا أن الطول يساوي نصف محيط الدائرة والعرض يساوي نصف القطر أي مساحة الدائرة = مساحة المستطيل المصنوع منها.

ومنه نجد أنّ مساحة الدائرة = نصف المحيط × نصف طول القطر (نق).

ولوضع هذا قانون بدلالة نصف القطر (نق)، نستطيع استخدام قانون (محيط الدائرة=ط × القطر).

وبالتعويض في قانون المساحة نجد:

مساحة الدائرة = 1/2(ط × القطر) × نق

نقوم بضرب ال1/2 بما داخل القوسين، فنحصل على

مساحة الدائرة = ط × 1/2القطر × نق

مساحة الدائرة = ط × نق × نق = ط × نق تربيع.

أي ما يقارب 22/7 أو 3.14 × القوة الثانية لطول نصف القطر (نصف القطر × نصف القطر).

                                                     \mathrm{Area} = \pi r^2.\,\mathrm{Area} = \frac{\pi d^2}{4} \approx 0{.}7854d^2,
مساحة دائرة طول نصف قطرها 10 سم = ط × نق تربيع ≈ 3.14 × 10 × 10 ≈ 314 سم2.
الدائرة هي المنحنى المستوي الذي يضم المساحة القصوى (أكبر مساحة) عندما يكون طول هذا المنحنى معروفا. هذا يربط الدائرة بمعضلة في مجال حساب التغيرات وبالتحديد بمعضلة متباينة المحيط الثابت.
دائرة شعاعها r = 1، ومركزها (a, b) المساوي ل  
في النظام الإحداثي الديكارتي، الدائرة ذات المركز الذي إحداثياته هي (a، b) وشعاعها هو r، هي مجموعة النقط (x، y) حيث :
\left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2.
 
x^2 + y^2 = r^2.\!\

يمكن أن تكتب هاته المعادلة على شكل معادلة وسيطية (قد يطلق عليها اسم معادلة بارامترية) باستعمال الدوال المثلثية جيب وجيب تمام:
 x = a+r\,\cos t,\,
 y = b+r\,\sin t\,
                                                                 x = a + r \frac{1-t^2}{1+t^2}\,
                                                                y = b + r \frac{2t}{1+t^2}.\,
في النظام الإحداثي القطبي، معادلة دائرة هي كما يلي:
 r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \phi) + r_0^2 = a^2\,
المستوى العقدي
في المستوى العقدي، دائرة مركزها هو c ونصف قطرها هو r تمثل بالمعادلة |z-c|^2 = r^2\, . وقد تكتب هاته المعادلة بالشكل البارامتري التالي :  .z = re^{it}+c
المستقيمات المماسة
مستقيم مماس لدائرة ما في نقطة P تنتمي إلى الدائرة هو مستقيم عمودي على قطر الدائرة ويمر من النقطة P. إذا كانت (P = (x1, y1, وكان مركز الدائرة هو (a, b)، وكان شعاعها هو r، فإن المستقيم المماس للدائرة هو مستقيم عمودي على المستقيم المار من النقطتين (a, b) و (x1, y1). ولهذا السبب، تكتب معادلته الديكارتية على شكل
 (x_1-a)x+(y_1-b)y = c
وبتعويض قيمة العددين x و y ب x1 و y1 على التوالي، يُحصل على المعادلة التالية:
 (x_1-a)x+(y_1-b)y = (x_1-a)x_1+(y_1-b)y_1\,

مثال على مساحة الدائرة

الإحداثيات الديكارتية

هذه المعادلة تنبثق من مبرهنة فيثاغورس، عندما تطبق على أي نقطة تنتمي إلى الدائرة، كما يبين الشكل يساره. الشعاع هو وتر المثلث و المسافتان x - a و y - b هما طولا الضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. إذا كان مركز الدائرة هو مركز المَعلم، فإن هاته المعادلة تصير أكثر بساطة كما يلي :

حيث t وسيط تتغير قيمته بين العددين 0 و 2π. هندسيا، يمثل هذا الوسيط الزاوية التي يكونها الشعاع المار من النقطتين (a,b) و (x,y) مع محور الأفاصيل. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضا دائرة:

الإحداثيات القطبية

حيث a هي شعاع الدائرة و  (r, \theta) هي الإحداثية القطبية لنقطة ما من الدائرة و  (r_0, \phi) هي الإحداثية القطبية لمركز الدائرة.

أو

(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2.\!\
مرسلة بواسطة في

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom)